与えられた各式を展開する問題です。 (1) $(x+y-z)(x-y+z)$ (2) $(x^2+x+1)(x^2+x-5)$ (3) $(x^2-2x+3)(x^2+2x+3)$ (4) $(a+b-3)^2$ (5) $(2a+1)^2(2a-1)^2$ (6) $(x^2+9)(x+3)(x-3)$ (7) $(x-1)(x+2)(x+1)(x-2)$ (8) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。今回は、(1)から(8)まで全ての問題を解説します。

1. 問題の内容

与えられた各式を展開する問題です。

(1) $(x+y-z)(x-y+z)$

(2) $(x^2+x+1)(x^2+x-5)$

(3) $(x^2-2x+3)(x^2+2x+3)$

(4) $(a+b-3)^2$

(5) $(2a+1)^2(2a-1)^2$

(6) $(x^2+9)(x+3)(x-3)$

(7) $(x-1)(x+2)(x+1)(x-2)$

(8) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

2. 解き方の手順

各問題について、展開の手順を説明します。

(1) $(x+y-z)(x-y+z)$

まず、$x+(y-z)$、$x-(y-z)$と見なすと、和と差の積の公式が使えます。

$(x+(y-z))(x-(y-z)) = x^2 - (y-z)^2 = x^2 - (y^2 - 2yz + z^2)$

$x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

(2) $(x^2+x+1)(x^2+x-5)$

$x^2+x = A$と置換すると、$A+1$、$A-5$となります。

$(A+1)(A-5) = A^2 - 4A - 5$

$A$を元に戻すと、$(x^2+x)^2 - 4(x^2+x) - 5 = (x^4 + 2x^3 + x^2) - 4x^2 - 4x - 5$

$x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 5$

(3) $(x^2-2x+3)(x^2+2x+3)$

$x^2+3 = A$と置換すると、$A-2x$、$A+2x$となります。

$(A-2x)(A+2x) = A^2 - (2x)^2 = (x^2+3)^2 - 4x^2 = x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2$

$x^4 + 2x^2 + 9$

(4) $(a+b-3)^2$

$(a+b-3)^2 = ((a+b)-3)^2 = (a+b)^2 - 6(a+b) + 9$

$= a^2 + 2ab + b^2 - 6a - 6b + 9$

$a^2 + b^2 + 2ab - 6a - 6b + 9$

(5) $(2a+1)^2(2a-1)^2$

$(2a+1)^2(2a-1)^2 = ((2a+1)(2a-1))^2 = (4a^2 - 1)^2$

$= (4a^2)^2 - 2(4a^2)(1) + 1 = 16a^4 - 8a^2 + 1$

$16a^4 - 8a^2 + 1$

(6) $(x^2+9)(x+3)(x-3)$

$(x+3)(x-3) = x^2 - 9$なので、$(x^2+9)(x^2-9) = (x^2)^2 - 9^2$

$x^4 - 81$

(7) $(x-1)(x+2)(x+1)(x-2)$

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$、$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$なので、$(x^2 - 1)(x^2 - 4)$

$= x^4 - 5x^2 + 4$

$x^4 - 5x^2 + 4$

(8) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$、$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$なので、$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)$

$x^2 + 5x = A$と置換すると、$(A+4)(A+6) = A^2 + 10A + 24$

$(x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = (x^4 + 10x^3 + 25x^2) + 10x^2 + 50x + 24$

$x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - y^2 + 2yz - z^2$

(2) $x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x - 5$

(3) $x^4 + 2x^2 + 9$

(4) $a^2 + b^2 + 2ab - 6a - 6b + 9$

(5) $16a^4 - 8a^2 + 1$

(6) $x^4 - 81$

(7) $x^4 - 5x^2 + 4$

(8) $x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$