問題12：複素数 $z$ が $|z+i| = |z+3i|$ を満たすとき、等式 $z - \overline{z} = -4i$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

問題12：複素数 $z$ が $|z+i| = |z+3i|$ を満たすとき、等式 $z - \overline{z} = -4i$ が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおく。共役複素数 $\overline{z}$ は $\overline{z} = x - yi$ となる。

与えられた条件 $|z+i| = |z+3i|$ を $x, y$ で表す。

$z+i = x + (y+1)i$ なので、

$|z+i| = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$

同様に、$z+3i = x + (y+3)i$ なので、

$|z+3i| = \sqrt{x^2 + (y+3)^2}$

したがって、与えられた条件は

$\sqrt{x^2 + (y+1)^2} = \sqrt{x^2 + (y+3)^2}$

両辺を2乗すると

$x^2 + (y+1)^2 = x^2 + (y+3)^2$

$x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 + 6y + 9$

$2y + 1 = 6y + 9$

$4y = -8$

$y = -2$

次に、$z - \overline{z}$ を計算する。

$z - \overline{z} = (x+yi) - (x-yi) = 2yi$

$y = -2$ を代入すると

$z - \overline{z} = 2(-2)i = -4i$

よって、$z - \overline{z} = -4i$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$z - \overline{z} = -4i$