(1) $CQ=6, QA=4, AR=6, RB=8, BP=8, PC=x$ のとき、$x$ の値を求める。 (2) $CP=3, CQ=3, QA=4, AR=2, RB=5, BC=y$ のとき、$y$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $CQ=6, QA=4, AR=6, RB=8, BP=8, PC=x$ のとき、$x$ の値を求める。

(2) $CP=3, CQ=3, QA=4, AR=2, RB=5, BC=y$ のとき、$y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) チェバの定理を用いる。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、辺BC, CA, AB上に点P, Q, Rがあるとき、3直線AP, BQ, CRが一点で交わるための必要十分条件は、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

である。

与えられた値より、$\frac{6}{8} \cdot \frac{8}{x} \cdot \frac{6}{4} = 1$

$\frac{36}{4x} = 1$

$36 = 4x$

$x = 9$

(2) メネラウスの定理を用いる。メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、辺BC上に点P, 辺CA上に点Q, 辺AB上に点Rがあるとき、3点P, Q, Rが一直線上にあるための必要十分条件は、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

である。

ただし、点Pは辺BCの延長線上にある。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{36}{60} \neq 1$

メネラウスの定理（別のパターン）を用いる。三角形ACQにおいて、直線BRが交わるとき、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

三角形ABRにおいて、直線CPが交わるとき、

$\frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QP}{PR} \cdot \frac{RA}{AB} = 1$

メネラウスの定理を $\triangle AB C$ と直線 $PQR$ に対して用いると

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{5} \cdot \frac{3+y}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{2(3+y)3}{5 \cdot 3 \cdot 4} = 1$

$\frac{6(3+y)}{60} = 1$

$6(3+y) = 60$

$3+y = 10$

$y = 7$

3. 最終的な答え

(1) $x = 9$

(2) $y = 7$