問題は、球、半球、回転体に関するいくつかの体積と表面積を求める問題です。具体的には、以下のものが含まれています。 * 半径9cmの球の体積と表面積を求める。 * 半径3cmの半円を180度回転させた立体の体積と表面積を求める。 * 三角形と長方形をそれぞれ回転させてできる立体の体積を求める。 * 半径5cmの球とその球がちょうど入る円柱の体積と表面積の比を求める。

1. 問題の内容

問題は、球、半球、回転体に関するいくつかの体積と表面積を求める問題です。具体的には、以下のものが含まれています。

* 半径9cmの球の体積と表面積を求める。

* 半径3cmの半円を180度回転させた立体の体積と表面積を求める。

* 三角形と長方形をそれぞれ回転させてできる立体の体積を求める。

* 半径5cmの球とその球がちょうど入る円柱の体積と表面積の比を求める。

2. 解き方の手順

(1) 半径9cmの球の体積と表面積

* 球の体積の公式: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

$V = \frac{4}{3}\pi (9^3) = \frac{4}{3}\pi (729) = 972\pi$

* 球の表面積の公式: $S = 4\pi r^2$

$S = 4\pi (9^2) = 4\pi (81) = 324\pi$

(2) 半径3cmの半円を180度回転させた立体の体積と表面積

* 半球を180度回転させると、半径3cmの球の $\frac{1}{2}$ の体積になる。

よって、体積 $V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi (3^3) = \frac{2}{3}\pi (27) = 18\pi$

* 表面積は、半球の曲面部分の半分 $2\pi r^2 \times \frac{1}{2} = \pi r^2$ と底面の円の半分 $\pi r^2 \times \frac{1}{2}$ と平面の扇形の面積を加える。

したがって、$\frac{\pi r^2}{2} + \pi r^2 = \frac{3}{2}\pi r^2 = \frac{3}{2} \pi 3^2 = \frac{27}{2} \pi$

(問2)

(1) 底辺6cm、高さ10cmの三角形を回転させると、底面の半径が6cm、高さが10cmの円錐ができる。

円錐の体積の公式: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$V = \frac{1}{3} \pi (6^2)(10) = \frac{1}{3} \pi (36)(10) = 120\pi$

(2) 長方形を回転させると、円柱ができる。図は3cmの円柱と2cmの円柱がくっついた形と考えられ、高さは5cm。体積はそれぞれの円柱の体積の和となる。

体積: $V = \pi (3^2) 5 + \pi (2^2) 5 = 45 \pi + 20 \pi = 65\pi$

(問3)

(1) 半径5cmの球の体積と、その球がちょうど入る円柱の体積の比

* 球の体積: $V_{球} = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{500}{3}\pi$

* 円柱の体積: $V_{円柱} = \pi r^2 h = \pi (5^2)(10) = 250\pi$

比: $\frac{V_{球}}{V_{円柱}} = \frac{\frac{500}{3}\pi}{250\pi} = \frac{500}{3 \times 250} = \frac{2}{3}$

(2) 球の表面積と円柱の側面積の比

* 球の表面積: $S_{球} = 4\pi r^2 = 4\pi (5^2) = 100\pi$

* 円柱の側面積: $S_{円柱} = 2\pi r h = 2\pi (5)(10) = 100\pi$

比: $\frac{S_{球}}{S_{円柱}} = \frac{100\pi}{100\pi} = 1$

3. 最終的な答え

問1

(1) ア: $972\pi$, イ: $324\pi$

(2) ウ: $18\pi$, エ: $\frac{27}{2}\pi$

問2

(1) オ: $120\pi$

(2) カ: $65\pi$

問3

(1) キ: $2:3$

(2) ク: $1:1$