与えられた複素数の計算問題を解きます。問題は以下の4つです。 (1) $\frac{2-i}{3+i}$ (2) $\frac{4}{1-i}$ (3) $\frac{2-i}{2+i}$ (4) $\frac{1}{2i}$

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題を解きます。問題は以下の4つです。

(1) $\frac{2-i}{3+i}$

(2) $\frac{4}{1-i}$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$

(4) $\frac{1}{2i}$

2. 解き方の手順

複素数の分母に虚数単位 $i$ が含まれている場合、分母の共役複素数を分母と分子に掛けて分母を実数化します。

(1) $\frac{2-i}{3+i}$ の場合、分母の共役複素数は $3-i$ です。したがって、

$$\frac{2-i}{3+i} = \frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i - 3i + i^2}{9 - i^2} = \frac{6 - 5i - 1}{9 - (-1)} = \frac{5 - 5i}{10} = \frac{1 - i}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$$

(2) $\frac{4}{1-i}$ の場合、分母の共役複素数は $1+i$ です。したがって、

$$\frac{4}{1-i} = \frac{4(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{4(1+i)}{1 - i^2} = \frac{4(1+i)}{1 - (-1)} = \frac{4(1+i)}{2} = 2(1+i) = 2 + 2i$$

(3) $\frac{2-i}{2+i}$ の場合、分母の共役複素数は $2-i$ です。したがって、

$$\frac{2-i}{2+i} = \frac{(2-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{4 - 2i - 2i + i^2}{4 - i^2} = \frac{4 - 4i - 1}{4 - (-1)} = \frac{3 - 4i}{5} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$$

(4) $\frac{1}{2i}$ の場合、分母を実数化するために $i$ の共役複素数である $-i$ を分母と分子に掛けます。

$$\frac{1}{2i} = \frac{1 \times (-i)}{2i \times (-i)} = \frac{-i}{-2i^2} = \frac{-i}{-2(-1)} = \frac{-i}{2} = -\frac{1}{2}i$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$

(2) $2 + 2i$

(3) $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$

(4) $-\frac{1}{2}i$