関数 $f(x) = \frac{-x+1}{(x-2)^3}$ の増減表を完成させる問題です。増減表の空欄を埋めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{-x+1}{(x-2)^3}$ の増減表を完成させる問題です。増減表の空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f(x) = \frac{-x+1}{(x-2)^3}$

商の微分公式を用いて、$f'(x)$ を計算します。

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = -x+1$、$v = (x-2)^3$ とすると、$u' = -1$、$v' = 3(x-2)^2$ となります。

$f'(x) = \frac{(-1)(x-2)^3 - (-x+1)(3(x-2)^2)}{(x-2)^6} = \frac{(x-2)^2[-(x-2) - 3(-x+1)]}{(x-2)^6} = \frac{-x+2+3x-3}{(x-2)^4} = \frac{2x-1}{(x-2)^4}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、 $2x-1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

また、$x = 2$ のとき、$f'(x)$ は定義されません。

したがって、増減表における$f'(x)$が0となるのは$x=\frac{1}{2}$、定義されないのは$x=2$となります。

次に、$f(x)$の値を求めます。

$x=\frac{1}{2}$のとき、$f(\frac{1}{2}) = \frac{-\frac{1}{2}+1}{(\frac{1}{2}-2)^3} = \frac{\frac{1}{2}}{(-\frac{3}{2})^3} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{27}{8}} = \frac{1}{2} \times (-\frac{8}{27}) = -\frac{4}{27}$

$x \to -\infty$のとき、$f(x) \to 0$

$x \to \infty$のとき、$f(x) \to 0$

$x < \frac{1}{2}$のとき、$f'(x) < 0$

$\frac{1}{2} < x < 2$のとき、$f'(x) > 0$

$2 < x$のとき、$f'(x) > 0$

以上より、増減表の空欄を埋めると以下のようになります。

(1): $\frac{1}{2}$

(2): $2$

(3): $0$

(4)(5): $27$

(6): $0$

3. 最終的な答え

(1): $\frac{1}{2}$

(2): $2$

(3): $0$

(4)(5): $27$

(6): $0$