三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APと線分BQの交点をSとし、直線CSと辺ABの交点をRとする。このとき、比 $AR/RB$ と $CS/SR$ の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をP、辺CAを2:3に内分する点をQとする。線分APと線分BQの交点をSとし、直線CSと辺ABの交点をRとする。このとき、比 $AR/RB$ と $CS/SR$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $AR/RB$を求める。

チェバの定理より、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

条件より、$BP:PC = 2:1$、$CQ:QA = 2:3$であるから、

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} = 1$$

$$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{4}$$

(2) $CS/SR$を求める。

メネラウスの定理を三角形ABRと直線CSに関して適用すると、

$$\frac{AC}{CQ} \cdot \frac{QS}{SB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$$

ここで、条件より$AC/CQ = 5/2$であり、(1)より$BR/RA=4/3$。したがって

$$\frac{5}{2} \cdot \frac{QS}{SB} \cdot \frac{4}{3} = 1$$

$$\frac{QS}{SB} = \frac{3}{10}$$

メネラウスの定理を三角形BCSと直線ARに関して適用すると、

$$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$$

$$\frac{BA}{AR} = \frac{BR+AR}{AR} = \frac{BR}{AR}+1 = \frac{4}{3}+1 = \frac{7}{3}$$

$$\frac{CQ}{QB} = \frac{2}{10/3} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$

したがって、

$$\frac{7}{3} \cdot \frac{RS}{SC} \cdot \frac{3}{5} = 1$$

$$\frac{RS}{SC} = \frac{5}{7}$$

$$\frac{CS}{SR} = \frac{7}{5}$$

3. 最終的な答え

(1)

$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{4}$

(2)

$\frac{CS}{SR} = \frac{7}{5}$