三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。このとき、線分COと線分ORの長さの比CO:ORを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを2:1に内分し、点Rは辺ABを2:1に内分する。このとき、線分COと線分ORの長さの比CO:ORを求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用する。

三角形ABQにおいて、直線RCが辺を横切る場合を考える。

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

問題文と図から、$AR:RB = 2:1$、$AQ:QC=2:1$であるため、$AC:CQ = 3:1$。

よって、$BC/CQ = \frac{BC}{CQ}$.

これを上の式に代入すると、

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

$\frac{6}{1} \cdot \frac{QO}{OC} = 1$

$6QO = OC$

$OC = 6QO$

ここで、$CQ = CO + OQ$より、$CO = CQ - OQ$

$CQ = \frac{1}{3} AC$より、$CO = \frac{1}{3} AC - OQ$

また、$CQ = CO + OQ$ より、$\frac{1}{3}AC = 6OQ + OQ = 7OQ$

$OQ = \frac{1}{21}AC$.

したがって、$CO = 6 OQ = \frac{6}{21}AC = \frac{2}{7}AC$

次に、三角形ARCにおいて、直線BQが辺を横切る場合を考える.

メネラウスの定理より、

$\frac{AQ}{QC}\cdot \frac{CB}{BR}\cdot \frac{RO}{OA}=1$

$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{RO}{AC} = 1$.

$AR = 2$, RB = 1なので$AB=AR+RB=3$, よって$AB/BR=3/1$. $BC/BR = 3$.

よって$\frac{AO}{OR}=1$より$AQ/QC=2/1$、$CB/BA=3$

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{RO}{OR} = 1$.

$\frac{AO}{OR}=6$より、AR=1, RB=2なので$\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$. なので$\frac{2}{1}$.

$\frac{AQ}{QC} = \frac{2}{1}$, $\frac{BC}{BO} = \frac{3}{BO}$, $\frac{AR}{RB} = \frac{2}{1}$

$\frac{AR}{RB} \frac{BO}{OC} \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \frac{BA}{AO}\frac{OC}{CQ}$

したがってCO : OR = $\frac{1}{2}:\frac{2}{1}$

三角形AORと三角形COQで相似であるので

$\frac{AO}{OR} = \frac{CO}{OQ}$, AR:RB=2:1, AQ:QC=2:1より、

CO:OR=6:1

3. 最終的な答え

6 : 1