$\theta$は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$のとき、$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

まず、$\cos \theta$を求めます。

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$なので、$\sin^2 \theta = \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{4 \times 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$となります。

したがって、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$\theta$は鋭角なので、$\cos \theta > 0$です。

よって、$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$となります。

次に、$\tan \theta$を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$なので、

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \times \frac{5}{\sqrt{5}} = 2$となります。

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta = 2$