底面の半径が5cm、母線の長さが13cmの円錐に内接する球の半径を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が5cm、母線の長さが13cmの円錐に内接する球の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

円錐の軸を含む断面を考える。この断面は、底辺の長さが $2 \times 5 = 10$ cm、斜辺の長さが13cmの二等辺三角形となり、この三角形に内接する円の半径を求める問題となる。

まず、二等辺三角形の高さを求める。高さを $h$ とすると、ピタゴラスの定理より、

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 144$

$h = 12$

二等辺三角形の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$

次に、内接円の半径を $r$ とすると、三角形の面積は、三角形の3辺の長さと内接円の半径を使って以下のように表せる。

$S = \frac{1}{2} (13 + 13 + 10) r = \frac{1}{2} \times 36 \times r = 18r$

したがって、$60 = 18r$ となるので、

$r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{10}{3}$