3点A(2, 3, 4)、B(3, 5, 5)、C(0, 5, 8)を頂点とする三角形ABCにおいて、角BACの大きさと三角形ABCの面積を求める問題です。

1. 問題の内容

3点A(2, 3, 4)、B(3, 5, 5)、C(0, 5, 8)を頂点とする三角形ABCにおいて、角BACの大きさと三角形ABCの面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を求めます。

$\overrightarrow{AB} = (3-2, 5-3, 5-4) = (1, 2, 1)$

$\overrightarrow{AC} = (0-2, 5-3, 8-4) = (-2, 2, 4)$

次に、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の内積を求めます。

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1)(-2) + (2)(2) + (1)(4) = -2 + 4 + 4 = 6$

次に、$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の大きさを求めます。

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

次に、$\cos \angle BAC$を求めます。

$\cos \angle BAC = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|} = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \cdot 6} = \frac{1}{2}$

したがって、$\angle BAC = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ ラジアン。

次に、三角形ABCの面積を求めます。

$\sin \angle BAC = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

三角形の面積の公式は、

$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin \angle BAC = \frac{1}{2} \sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\angle BAC$の大きさは $60^\circ$であり、$\triangle ABC$の面積は$3\sqrt{3}$である。