座標空間内の3点 A(2, -2, 1), B(-4, 1, 1), C(1, 5, -1) と原点 O(0, 0, 0) が与えられたとき、以下の問題を解く。 (1) |OA|, |OB|, OA・OB, OAとOBのなす角の大きさを求める。 (2) △OAB の面積を求める。 (3) 点 C から △OAB を含む平面に下ろした垂線を CD とするとき、点 D の座標を求める。 (4) 四面体 OABC の体積を求める。

1. 問題の内容

座標空間内の3点 A(2, -2, 1), B(-4, 1, 1), C(1, 5, -1) と原点 O(0, 0, 0) が与えられたとき、以下の問題を解く。

(1) |OA|, |OB|, OA・OB, OAとOBのなす角の大きさを求める。

(2) △OAB の面積を求める。

(3) 点 C から △OAB を含む平面に下ろした垂線を CD とするとき、点 D の座標を求める。

(4) 四面体 OABC の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

|OA| = $\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

|OB| = $\sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

OA・OB = $(2)(-4) + (-2)(1) + (1)(1) = -8 - 2 + 1 = -9$

cos θ = $\frac{OA・OB}{|OA||OB|} = \frac{-9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、θ = $\frac{3}{4}\pi$

(2)

$\vec{OA} = (2, -2, 1)$, $\vec{OB} = (-4, 1, 1)$

$\vec{OA} \times \vec{OB} = ((-2)(1) - (1)(1), (1)(-4) - (2)(1), (2)(1) - (-2)(-4)) = (-3, -6, -6)$

$|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9$

△OAB の面積 = $\frac{1}{2}|\vec{OA} \times \vec{OB}| = \frac{9}{2}$

(3)

D は平面 OAB 上にあるので、実数 s, t を用いて

$\vec{OD} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = (2s - 4t, -2s + t, s + t)$

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = (2s - 4t - 1, -2s + t - 5, s + t + 1)$

$\vec{CD}$ は平面 OAB に垂直なので、$\vec{CD}・\vec{OA} = 0$ かつ $\vec{CD}・\vec{OB} = 0$

$\vec{CD}・\vec{OA} = 2(2s - 4t - 1) - 2(-2s + t - 5) + (s + t + 1) = 4s - 8t - 2 + 4s - 2t + 10 + s + t + 1 = 9s - 9t + 9 = 0$

$\vec{CD}・\vec{OB} = -4(2s - 4t - 1) + ( -2s + t - 5) + (s + t + 1) = -8s + 16t + 4 - 2s + t - 5 + s + t + 1 = -9s + 18t = 0$

$s - t + 1 = 0$

$-s + 2t = 0$

$s = 2t$

$2t - t + 1 = 0$

$t = -1$

$s = -2$

$\vec{OD} = (-4 + 4, 4 - 1, -2 - 1) = (0, 3, -3)$

D(0, 3, -3)

(4)

四面体 OABC の体積 = $\frac{1}{6} |(\vec{OA} \times \vec{OB})・\vec{OC}|$

$\vec{OC} = (1, 5, -1)$

$(\vec{OA} \times \vec{OB})・\vec{OC} = (-3)(1) + (-6)(5) + (-6)(-1) = -3 - 30 + 6 = -27$

四面体 OABC の体積 = $\frac{1}{6} |-27| = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

(1) |OA| = 3, |OB| = $3\sqrt{2}$, OA・OB = -9, OAとOBのなす角の大きさ = $\frac{3}{4}\pi$

(2) △OABの面積 = $\frac{9}{2}$

(3) D(0, 3, -3)

(4) 四面体OABCの体積 = $\frac{9}{2}$