円錐が底面に平行な2つの平面で3つの部分 $P$, $Q$, $R$ に分割されている。それぞれの高さの比が $1:2:1$ であるとき、$Q$ と $R$ の体積の比を求める。

1. 問題の内容

円錐が底面に平行な2つの平面で3つの部分 $P$, $Q$, $R$ に分割されている。それぞれの高さの比が $1:2:1$ であるとき、$Q$ と $R$ の体積の比を求める。

2. 解き方の手順

まず、円錐全体の体積を $V$ とする。円錐の体積の公式は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ である。ここで、$r$ は底面の半径、$h$ は高さである。

円錐の相似比を考える。高さの比が $1:2:1$ より、$P$ の円錐の高さを $h$ とすると、$P+Q$ の円錐の高さは $2h$, 円錐全体の高さは $3h$ となる。

相似な図形の体積比は、相似比の3乗に等しい。

$P$ の体積を $V_P$, $P+Q$ の体積を $V_{P+Q}$, 全体の体積を $V$ とすると、

$V_P : V_{P+Q} : V = 1^3 : 2^3 : 3^3 = 1 : 8 : 27$ となる。

したがって、$V_P = \frac{1}{27} V$, $V_{P+Q} = \frac{8}{27} V$ である。

$Q$ の体積 $V_Q$ は $V_Q = V_{P+Q} - V_P = \frac{8}{27} V - \frac{1}{27} V = \frac{7}{27} V$ となる。

$R$ の体積 $V_R$ は $V_R = V - V_{P+Q} = V - \frac{8}{27} V = \frac{19}{27} V$ となる。

よって、$Q$ と $R$ の体積の比は $V_Q : V_R = \frac{7}{27} V : \frac{19}{27} V = 7 : 19$ となる。

問題文に記載された高さの比 $1:2:1$ は、円錐の上から $P$, $Q$, $R$ のそれぞれの領域の高さの比を示している。円錐全体の上から測った高さの比は $1:(1+2):(1+2+1)$ すなわち $1:3:4$ であり、体積比は $1^3:3^3:4^3$ すなわち $1:27:64$ となる。

$P$ の体積は $1k$、$P+Q$ の体積は $27k$、全体の体積は $64k$ となる。

したがって、$Q$ の体積は $27k-1k=26k$、$R$ の体積は $64k-27k=37k$ となる。

よって、$Q:R=26:37$

3. 最終的な答え

26:37