3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ の1つの解が $x = 2 + i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値と、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ の1つの解が $x = 2 + i$ であるとき、実数の定数 $a, b$ の値と、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = 2+i$ が解であるから、複素共役な $x = 2-i$ も解である。

したがって、$x^3 + ax^2 + bx + 10$ は $(x - (2+i))(x - (2-i)) = (x-2-i)(x-2+i) = (x-2)^2 - i^2 = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5$ で割り切れる。

$x^3 + ax^2 + bx + 10$ を $x^2 - 4x + 5$ で割ると、

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x} & +a+4 \\

\cline{2-5}

x^2-4x+5 & x^3 & +ax^2 & +bx & +10 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -4x^2 & +5x \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & (a+4)x^2 & +(b-5)x & +10 \\

\multicolumn{2}{r}{} & (a+4)x^2 & -4(a+4)x & +5(a+4) \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & (b-5+4a+16)x & +10-5a-20 \\

\end{array}

余りは $(b+4a+11)x - 5a - 10$ となる。

これが0になるので、

$b+4a+11 = 0$

$-5a-10=0$

これより、 $a = -2$ であり、$b = -4a - 11 = 8 - 11 = -3$ となる。

したがって、元の3次方程式は $x^3 - 2x^2 - 3x + 10 = 0$ となり、これは $(x^2 - 4x + 5)(x + 2) = 0$ と因数分解できる。

よって、残りの解は $x = -2$ である。

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = -3$

他の解: $x = -2$