与えられた多項式を因数分解する問題です。 式は $18(ab^2+bc^2+ca^2) - 12(a^2b+b^2c+c^2a) - 19abc$ です。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解する問題です。

式は $18(ab^2+bc^2+ca^2) - 12(a^2b+b^2c+c^2a) - 19abc$ です。

2. 解き方の手順

与えられた式を $f(a,b,c)$ とおきます。

$f(a,b,c) = 18(ab^2+bc^2+ca^2) - 12(a^2b+b^2c+c^2a) - 19abc$

まず、$a$ についての多項式と見て整理します。

$f(a,b,c) = (18b^2-12bc)a + (18c^2-12b^2-19bc)a - 12(b^2 c+c^2b)$

与式に $a=b$ を代入すると、

$f(b,b,c) = 18(b^3+bc^2+c b^2) - 12(b^3+b^2c+c^2b) - 19b^2c$

$= 18b^3 + 18bc^2 + 18b^2c - 12b^3 - 12b^2c - 12c^2b - 19b^2c$

$= 6b^3 + 6bc^2 - 13b^2c - 13b^2c$

$= 6b^3 + 6bc^2 + 6b^2c - 12b^3 -12 b^2c- 12c^2b - 19b^2c$

$= 6b^3 + 6b^2c - 13b^2 c + 6bc^2 - 12 bc^2 - 19b^2c$

$= 6b^3 - 7b^2 c -6bc^2$

$= b(6b^2 -7bc -6c^2) = b(2b-3c)(3b+2c) \neq 0$

与式に $a=0$ を代入すると、

$f(0,b,c) = 18(bc^2) - 12(b^2c+c^2(0)) - 19(0) = 18bc^2 - 12b^2c$

与式に $a=c$ を代入すると、

$f(c,b,c) = 18(cb^2+bc^2+c^3) - 12(c^2b+b^2c+c^3) - 19c^2b$

$= 18cb^2+18bc^2+18c^3 - 12c^2b-12b^2c-12c^3 - 19c^2b$

$= 18cb^2+18bc^2 + 6c^3 - 12cb^2 - 12bc^2 - 19c^2b$

$= 6cb^2+6bc^2 +6c^3 -31c^2b = 6c^3 +6b^2c-31bc^2$

$a=b$ を代入したとき、$f(b,b,c) = 18b^3+18bc^2+18b^2c - 12b^3-12b^2c-12c^2b -19b^2c = 6b^3+6b^2c - 13b^2c + 6bc^2 -12bc^2 = 6b^3 -7b^2c - 6bc^2 = b(6b^2 - 7bc-6c^2)=b(2b-3c)(3b+2c) \neq 0$

$a=c$ を代入したとき、$f(c,b,c) = 18cb^2+18bc^2+18c^3 - 12c^2b-12b^2c-12c^3 - 19bc^2 = 18cb^2+6c^3 + 6bc^2 -19cb^2=6b^2c-cb^2 -13 c^2b + c^3$

ここで、$a-b$, $b-c$, $c-a$ が因数であると予想できます。

まず、$a-b$ が因数かどうかを確認するため、$a=b$ を代入してみます。

$f(b,b,c) = 18(b^3 + bc^2 + c b^2) - 12(b^3 + b^2 c + c^2 b) - 19b^2 c = 18b^3 + 18bc^2 + 18b^2 c - 12b^3 - 12b^2 c - 12 c^2 b - 19b^2 c = 6b^3 + 6bc^2 - 13b^2 c$

$=b (6b^2 - 7bc - 6c^2)=b(2b-3c)(3b+2c) \neq 0$

したがって、$a-b$ は因数ではありません。

しかし、上記の式を見ると、(a-b)(b-c)(c-a)の可能性が高いです。

ここで、$f(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a)$ と置きます。

$a^2 b$ の項を比較すると、$-k= -12$なので、$k=12$となります。

$18(ab^2+bc^2+ca^2) - 12(a^2b+b^2c+c^2a) - 19abc = -(2a-3b)(2b-3c)(2c-3a)$

上記の等式が正しいかを確認するため、展開してみます。

$- (2a-3b)(2b-3c)(2c-3a) = -(4ab-6ac-6b^2+9bc)(2c-3a) = -(8abc -12a^2b -12ac^2 +18a^2 c -12b^2 c + 18ab^2 +18bc^2 - 27abc)$

$=- ( -12a^2b + 18ab^2 + 18bc^2 - 12b^2 c -12ac^2 + 18a^2c - 19abc)$

$= 12a^2b-18ab^2-18bc^2 + 12b^2c + 12ac^2-18a^2c + 19abc$

$= -(2a-3b)(2b-3c)(2c-3a)$ と予想します.

最終的な答えは、

$-(3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)$ となる。

3. 最終的な答え

$-(3a-2b)(3b-2c)(3c-2a)$