縦24m、横30mの長方形の畑がある。畑の周囲と縦横に同じ幅の道路を作ったところ、残った畑の面積が567平方メートルになった。道路の幅を求めよ。

1. 問題の内容

縦24m、横30mの長方形の畑がある。畑の周囲と縦横に同じ幅の道路を作ったところ、残った畑の面積が567平方メートルになった。道路の幅を求めよ。

2. 解き方の手順

道路の幅を $x$ (m)とする。

道路を作った後の畑の縦の長さは、$24 - 2x$ (m)となる。

道路を作った後の畑の横の長さは、$30 - 3x$ (m)となる。

残った畑の面積は567平方メートルなので、以下の式が成り立つ。

$(24 - 2x)(30 - 3x) = 567$

この式を展開して整理する。

$720 - 72x - 60x + 6x^2 = 567$

$6x^2 - 132x + 720 = 567$

$6x^2 - 132x + 153 = 0$

$2x^2 - 44x + 51 = 0$

この2次方程式を解く。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いる。

$x = \frac{44 \pm \sqrt{(-44)^2 - 4(2)(51)}}{2(2)}$

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 408}}{4}$

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1528}}{4}$

$x = \frac{44 \pm 2\sqrt{382}}{4}$

$x = \frac{22 \pm \sqrt{382}}{2}$

$x = 11 \pm \frac{\sqrt{382}}{2}$

$\sqrt{382} \approx 19.5$ であるから、

$x \approx 11 \pm \frac{19.5}{2}$

$x \approx 11 \pm 9.75$

$x_1 \approx 11 + 9.75 = 20.75$

$x_2 \approx 11 - 9.75 = 1.25$

ここで、$x$は道路の幅なので、$2x < 24$ かつ $3x < 30$を満たす必要がある。つまり、$x < 12$かつ$x < 10$。

したがって、$x < 10$である必要がある。

$x_1 \approx 20.75$ は $x < 10$ を満たさないため不適。

$x_2 \approx 1.25$ は $x < 10$ を満たす。

正確な値を計算する。

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1528}}{4} = \frac{44 \pm \sqrt{4 \times 382}}{4} = \frac{44 \pm 2\sqrt{382}}{4} = \frac{22 \pm \sqrt{382}}{2}$

$x = 11 \pm \frac{\sqrt{382}}{2}$

$\sqrt{382} \approx 19.54482$

$x \approx 11 \pm \frac{19.54482}{2}$

$x \approx 11 \pm 9.77241$

$x_1 = 11 + \frac{\sqrt{382}}{2} > 10$なので不適。

$x_2 = 11 - \frac{\sqrt{382}}{2} = \frac{22 - \sqrt{382}}{2} \approx 1.22759$

ここで、整数解を探すことを考えると、$2x^2 - 44x + 51 = 0$において、$x$に整数を代入したときに、$2x^2 - 44x + 51$が0になることはなさそう。

問題文から、おそらく$x$は整数値であると予想される。

$x = 1$とすると、$2(1)^2 - 44(1) + 51 = 2 - 44 + 51 = 9 \neq 0$

$x = 2$とすると、$2(2)^2 - 44(2) + 51 = 8 - 88 + 51 = -29 \neq 0$

$x = 3$とすると、$2(3)^2 - 44(3) + 51 = 18 - 132 + 51 = -63 \neq 0$

計算ミスがないか確認する。

$(24 - 2x)(30 - 3x) = 567$

$720 - 72x - 60x + 6x^2 = 567$

$6x^2 - 132x + 720 - 567 = 0$

$6x^2 - 132x + 153 = 0$

$2x^2 - 44x + 51 = 0$

もう一度解の公式を適用する。

$x = \frac{44 \pm \sqrt{44^2 - 4(2)(51)}}{4}$

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 408}}{4} = \frac{44 \pm \sqrt{1528}}{4} = \frac{44 \pm 2\sqrt{382}}{4} = \frac{22 \pm \sqrt{382}}{2}$

$x \approx \frac{22 \pm 19.5448}{2}$

$x_1 \approx 20.77$

$x_2 \approx 1.23$

$x \approx 1.23$ が答えとして適切である。

道路の幅が1.23mのとき、

縦の長さは $24 - 2(1.23) = 24 - 2.46 = 21.54$

横の長さは $30 - 3(1.23) = 30 - 3.69 = 26.31$

面積は $21.54 \times 26.31 = 566.7174 \approx 567$

3. 最終的な答え

道路の幅は約1.23m