複素数 $\alpha$ ($\alpha \neq 1$) を1の5乗根とし、$\overline{\alpha}$を $\alpha$ に共役な複素数とするとき、以下の問いに答える。 (1) $\alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} = 0$ であることを示す。 (2) (1) を利用して、$t = \alpha + \overline{\alpha}$ は $t^2 + t - 1 = 0$ を満たすことを示す。 (3) (2) を利用して $\cos 72^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ ($\alpha \neq 1$) を1の5乗根とし、$\overline{\alpha}$を $\alpha$ に共役な複素数とするとき、以下の問いに答える。

(1) $\alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} = 0$ であることを示す。

(2) (1) を利用して、$t = \alpha + \overline{\alpha}$ は $t^2 + t - 1 = 0$ を満たすことを示す。

(3) (2) を利用して $\cos 72^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\alpha$ は1の5乗根なので、$\alpha^5 = 1$ である。また、$\alpha \neq 1$ であるから、

$0 = \alpha^5 - 1 = (\alpha - 1)(\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1)$

$\alpha \neq 1$ より、

$\alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$

両辺を $\alpha^2$ で割ると、

$\alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} = 0$

したがって、$\alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} = 0$ が示された。

(2)

$t = \alpha + \overline{\alpha}$ とする。

$\alpha$ は1の5乗根なので、$\alpha = \cos{\frac{2\pi}{5}} + i\sin{\frac{2\pi}{5}}$ と表せる。

このとき、$\overline{\alpha} = \cos{\frac{2\pi}{5}} - i\sin{\frac{2\pi}{5}} = \cos{(-\frac{2\pi}{5})} + i\sin{(-\frac{2\pi}{5})} = \alpha^{-1}$。

$t = \alpha + \frac{1}{\alpha}$

(1)より、$\alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} = 0$

$\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2} + \alpha + \frac{1}{\alpha} + 1 = 0$

$(\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 - 2 + (\alpha + \frac{1}{\alpha}) + 1 = 0$

$t^2 - 2 + t + 1 = 0$

$t^2 + t - 1 = 0$

したがって、$t = \alpha + \overline{\alpha}$ は $t^2 + t - 1 = 0$ を満たすことが示された。

(3)

$t^2 + t - 1 = 0$ を解くと、

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$t = \alpha + \overline{\alpha} = (\cos{\frac{2\pi}{5}} + i\sin{\frac{2\pi}{5}}) + (\cos{\frac{2\pi}{5}} - i\sin{\frac{2\pi}{5}}) = 2\cos{\frac{2\pi}{5}} = 2\cos{72^\circ}$

$\cos 72^\circ > 0$ より、$t = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ である。

$2\cos 72^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$\cos 72^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} = 0$

(2) $t^2 + t - 1 = 0$

(3) $\cos 72^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$