2次方程式 $x^2 + 8x + 3a + 2b = 0$ が重解を持つとき、自然数 $a, b$ の値と、そのときの解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 8x + 3a + 2b = 0$ が重解を持つとき、自然数 $a, b$ の値と、そのときの解を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式が重解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

判別式 $D$ は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ に対して、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

この問題では、$x^2 + 8x + 3a + 2b = 0$ であるので、$a = 1, b = 8, c = 3a + 2b$ となります。

したがって、判別式 $D$ は以下のようになります。

$D = 8^2 - 4(1)(3a + 2b) = 64 - 12a - 8b$

重解を持つためには $D = 0$ である必要があるので、

$64 - 12a - 8b = 0$

$12a + 8b = 64$

$3a + 2b = 16$

$a, b$ は自然数であるため、$a, b$ が取りうる値を考えます。

$2b = 16 - 3a$

$b = 8 - \frac{3}{2}a$

$b$ が自然数であるためには、$16 - 3a$ が偶数でなければなりません。したがって、$a$ は偶数でなければなりません。

$a$ が偶数の自然数であるとき、$a = 2, 4$ が考えられます。

$a = 2$ のとき、$b = 8 - \frac{3}{2}(2) = 8 - 3 = 5$

$a = 4$ のとき、$b = 8 - \frac{3}{2}(4) = 8 - 6 = 2$

したがって、$(a, b) = (2, 5)$ または $(a, b) = (4, 2)$ です。

重解を求めるには、元の2次方程式に $a, b$ の値を代入して解きます。

$(a, b) = (2, 5)$ のとき、$x^2 + 8x + 3(2) + 2(5) = x^2 + 8x + 6 + 10 = x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = 0$ より、$x = -4$

$(a, b) = (4, 2)$ のとき、$x^2 + 8x + 3(4) + 2(2) = x^2 + 8x + 12 + 4 = x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 = 0$ より、$x = -4$

3. 最終的な答え

$a = 2, b = 5$ のとき、解は $x = -4$

$a = 4, b = 2$ のとき、解は $x = -4$