2つの2次方程式 $x^2+2(a+3)x+2a^2+2=0$ と $x^2-(3a-1)x+2=0$ がともに実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2+2(a+3)x+2a^2+2=0$ と $x^2-(3a-1)x+2=0$ がともに実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

それぞれの2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ となることである。

(1) 1つ目の2次方程式 $x^2+2(a+3)x+2a^2+2=0$ の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = \{2(a+3)\}^2 - 4(2a^2+2) = 4(a^2+6a+9) - 8a^2 - 8 = 4a^2+24a+36 - 8a^2 - 8 = -4a^2+24a+28$

$D_1 \ge 0$ より、 $-4a^2+24a+28 \ge 0$。

両辺を $-4$ で割ると、$a^2-6a-7 \le 0$。

因数分解すると、$(a-7)(a+1) \le 0$。

したがって、$-1 \le a \le 7$。

(2) 2つ目の2次方程式 $x^2-(3a-1)x+2=0$ の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = \{-(3a-1)\}^2 - 4(1)(2) = (3a-1)^2 - 8 = 9a^2-6a+1-8 = 9a^2-6a-7$

$D_2 \ge 0$ より、$9a^2-6a-7 \ge 0$。

解の公式を用いると、$a = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4(9)(-7)}}{2(9)} = \frac{6 \pm \sqrt{36+252}}{18} = \frac{6 \pm \sqrt{288}}{18} = \frac{6 \pm 12\sqrt{2}}{18} = \frac{1 \pm 2\sqrt{2}}{3}$。

したがって、$a \le \frac{1-2\sqrt{2}}{3}$ または $a \ge \frac{1+2\sqrt{2}}{3}$。

(3) (1)と(2)の両方を満たす $a$ の範囲を求める。

$-1 \le a \le 7$ と $a \le \frac{1-2\sqrt{2}}{3}$ または $a \ge \frac{1+2\sqrt{2}}{3}$。

$\frac{1-2\sqrt{2}}{3} \approx \frac{1-2(1.414)}{3} \approx \frac{1-2.828}{3} \approx \frac{-1.828}{3} \approx -0.609$

$\frac{1+2\sqrt{2}}{3} \approx \frac{1+2(1.414)}{3} \approx \frac{1+2.828}{3} \approx \frac{3.828}{3} \approx 1.276$

したがって、$-1 \le a \le \frac{1-2\sqrt{2}}{3}$ または $\frac{1+2\sqrt{2}}{3} \le a \le 7$。

3. 最終的な答え

$-1 \le a \le \frac{1-2\sqrt{2}}{3}$ または $\frac{1+2\sqrt{2}}{3} \le a \le 7$