不定積分 $\int (5x^2 - 3x + t^3 - 2t) dx$ を求める問題です。ただし、$t$は$x$に無関係な定数として扱います。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (5x^2 - 3x + t^3 - 2t) dx$ を求める問題です。ただし、$t$は$x$に無関係な定数として扱います。

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。

まず、積分を各項に分解します。

$\int (5x^2 - 3x + t^3 - 2t) dx = \int 5x^2 dx - \int 3x dx + \int t^3 dx - \int 2t dx$

次に、各項を積分します。

$\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3$

$\int 3x dx = 3 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2$

$\int t^3 dx = t^3 \int 1 dx = t^3 x = xt^3$

$\int 2t dx = 2t \int 1 dx = 2tx$

積分結果をまとめると、

$\int (5x^2 - 3x + t^3 - 2t) dx = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + xt^3 - 2tx + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + xt^3 - 2tx + C$