与えられた多項式の不定積分を求めます。積分は $x$ に関して行われ、$s$ と $t$ は $x$ と無関係な定数として扱います。積分は次の式です。 $\int (-8x^3 + 8x^2 - x + 6s^2 + 4t^2 - 1) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求めます。積分は $x$ に関して行われ、$s$ と $t$ は $x$ と無関係な定数として扱います。積分は次の式です。

$\int (-8x^3 + 8x^2 - x + 6s^2 + 4t^2 - 1) \, dx$

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行います。

* $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$)

* 定数の積分：$\int k \, dx = kx + C$

各項の積分は以下のようになります。

$\int -8x^3 \, dx = -8 \cdot \frac{x^4}{4} = -2x^4$

$\int 8x^2 \, dx = 8 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{8}{3}x^3$

$\int -x \, dx = -\frac{x^2}{2}$

$\int 6s^2 \, dx = 6s^2 x$ ($6s^2$ は定数なので)

$\int 4t^2 \, dx = 4t^2 x$ ($4t^2$ は定数なので)

$\int -1 \, dx = -x$

これらの積分結果をすべて足し合わせ、積分定数 $C$ を加えることで不定積分が得られます。

3. 最終的な答え

最終的な答えは次のようになります。

$-2x^4 + \frac{8}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6s^2 x + 4t^2 x - x + C$