与えられた条件 $F'(x) = 9x^2 + 2x - 3$ と $F(-1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた条件 $F'(x) = 9x^2 + 2x - 3$ と $F(-1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求める。

$F'(x) = 9x^2 + 2x - 3$ の不定積分は、

$F(x) = \int (9x^2 + 2x - 3) dx = 9 \int x^2 dx + 2 \int x dx - 3 \int dx$

$= 9 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = 3x^3 + x^2 - 3x + C$

ここで、$C$ は積分定数である。

次に、$F(-1) = 5$ を用いて積分定数 $C$ を決定する。

$F(-1) = 3(-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) + C = -3 + 1 + 3 + C = 1 + C$

$F(-1) = 5$ より、$1 + C = 5$ であるから、$C = 4$ となる。

したがって、求める関数 $F(x)$ は、

$F(x) = 3x^3 + x^2 - 3x + 4$ となる。

3. 最終的な答え

$F(x) = 3x^3 + x^2 - 3x + 4$