$a$, $b$ を実数とし、集合 $A, B$ を $A = \{1, 4, 2a+1, a^2\}$, $B = \{9, b, b-3a\}$ とする。 (1) $a = 4$ とする。$A \supset B$ となる $b$ の値と、$A \cap B = \{1, 9\}$ となる $b$ の値を求める。 (2) $A \supset B$ となる $a, b$ の組について考察する。 (3) $A \cap B = \{1, 9\}$ となる $a, b$ の組の個数を求める。

1. 問題の内容

$a$, $b$ を実数とし、集合 $A, B$ を $A = \{1, 4, 2a+1, a^2\}$, $B = \{9, b, b-3a\}$ とする。

(1) $a = 4$ とする。$A \supset B$ となる $b$ の値と、$A \cap B = \{1, 9\}$ となる $b$ の値を求める。

(2) $A \supset B$ となる $a, b$ の組について考察する。

(3) $A \cap B = \{1, 9\}$ となる $a, b$ の組の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = 4$ のとき、$A = \{1, 4, 9, 16\}$ である。

$A \supset B$ となるのは、$B \subset A$ となることである。つまり、$9, b, b-3a = b-12$ がすべて $A$ に含まれる必要がある。

$b = 1$ のとき、$b-12 = -11 \notin A$。

$b = 4$ のとき、$b-12 = -8 \notin A$。

$b = 9$ のとき、$b-12 = -3 \notin A$。

$b = 16$ のとき、$b-12 = 4 \in A$。したがって、$b = 16$ のとき、$A \supset B$ が成り立つ。

$A \cap B = \{1, 9\}$ となるのは、$B$ が $1$ と $9$ を含み、$4$ と $16$ を含まないことである。

$B = \{9, b, b-12\}$ なので、$1$ が $b$ か $b-12$ に等しい必要がある。

$b = 1$ のとき、$B = \{9, 1, -11\}$ であり、$A \cap B = \{1, 9\}$ を満たす。

$b-12 = 1$ のとき、$b = 13$ であり、$B = \{9, 13, 1\}$ である。$A \cap B = \{1, 9\}$ を満たすためには、$13 \notin A$ が必要。これは成り立つ。

$b = 1$ または $b = 13$。

(2) $9 \in A$ であるから、$2a+1 = 9$ または $a^2 = 9$ が成り立つ。

$2a+1 = 9$ のとき、$2a = 8$ より $a = 4$。このとき、$A = \{1, 4, 9, 16\}$ となり、$A \supset B$ となる $b$ は (1) より $b = 16$ である。

$a^2 = 9$ のとき、$a = 3$ または $a = -3$。

$a = 3$ のとき、$A = \{1, 4, 7, 9\}$。$B = \{9, b, b-9\}$。

$b = 1$ のとき、$b-9 = -8 \notin A$。

$b = 4$ のとき、$b-9 = -5 \notin A$。

$b = 7$ のとき、$b-9 = -2 \notin A$。

$b = 9$ のとき、$b-9 = 0 \notin A$。

よって、$a = 3$ は不適。

$a = -3$ のとき、$A = \{1, 4, -5, 9\}$。$B = \{9, b, b+9\}$。

$b = 1$ のとき、$b+9 = 10 \notin A$。

$b = 4$ のとき、$b+9 = 13 \notin A$。

$b = -5$ のとき、$b+9 = 4 \in A$。このとき、$B = \{9, -5, 4\} \subset A$ となり、$A \supset B$ を満たす。

$b = 9$ のとき、$b+9 = 18 \notin A$。

よって、$a = -3$ のとき、$b = -5$ が適する。

(3) $A \cap B = \{1, 9\}$ となるのは、$a = 4, b = 1$ または $a = 4, b = 13$ のとき。

または $a = -3$ のとき、$A = \{1, 4, -5, 9\}$、$B = \{9, b, b+9\}$ であり、$A \cap B = \{1, 9\}$ となることはない。

$A \cap B = \{1, 9\}$ となるのは、 $a = 4$ のとき、$B = \{9, b, b-12\}$ より、 $1$ が $b$ または $b-12$ に等しい必要がある。

$b = 1$ のとき、$B = \{9, 1, -11\}$ であり、$A \cap B = \{1, 9\}$。

$b-12 = 1$ のとき、$b = 13$ であり、$B = \{9, 13, 1\}$ であり、$A \cap B = \{1, 9\}$。

3. 最終的な答え

(1) アイ：16

ウ：1

エオ：13

(2) カキ：-3

クケ：-5

(3) コ：2