定積分 $\int_{1}^{3} (4x+3) dx$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} (4x+3) dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int (4x+3) dx$ を計算します。

$\int (4x+3) dx = 4\int x dx + 3\int dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 2x^2 + 3x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分 $\int_{1}^{3} (4x+3) dx$ を計算します。

これは、不定積分の $x=3$ での値から $x=1$ での値を引くことで求められます。

$\int_{1}^{3} (4x+3) dx = [2x^2 + 3x]_{1}^{3} = (2(3)^2 + 3(3)) - (2(1)^2 + 3(1)) = (2(9) + 9) - (2 + 3) = (18 + 9) - 5 = 27 - 5 = 22$

3. 最終的な答え

22