定積分 $\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-6x^2 - 6x + 5$ の不定積分を求めます。

$\int (-6x^2 - 6x + 5) dx = -6\int x^2 dx - 6\int x dx + 5\int dx$

$= -6\cdot \frac{x^3}{3} - 6\cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

$= -2x^3 - 3x^2 + 5x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

次に、定積分の定義に従い、不定積分の値を積分区間の端点で評価し、その差を計算します。

$\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx = [-2x^3 - 3x^2 + 5x]_{1}^{-2}$

$= [-2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 5(-2)] - [-2(1)^3 - 3(1)^2 + 5(1)]$

$= [-2(-8) - 3(4) - 10] - [-2 - 3 + 5]$

$= [16 - 12 - 10] - [0]$

$= -6$

3. 最終的な答え

-6