三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $C=45^\circ$ が与えられているとき、$c$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=4$, $b=2\sqrt{2}$, $C=45^\circ$ が与えられているとき、$c$の値を求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて$c$の値を求める。余弦定理は以下の通りである。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

与えられた値を代入する。

$c^2 = 4^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{2} \cos 45^\circ$

$c^2 = 16 + 8 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 24 - 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24 - 16 \cdot \frac{2}{2} = 24 - 16 = 8$

$c^2 = 8$ より、$c = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$c = 2\sqrt{2}$