円周上に点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB = 2, CD = 5, BP = 4のとき、以下の問いに答える。 (1) 線分PCの長さを求めよ。 (2) PQ : QRを求めよ。 (3) AQ : BQを求めよ。

1. 問題の内容

円周上に点A, B, C, Dがあり、直線ABと直線CDの交点をP、線分ACと線分BDの交点をQ、直線PQと線分ADの交点をRとする。AB = 2, CD = 5, BP = 4のとき、以下の問いに答える。

(1) 線分PCの長さを求めよ。

(2) PQ : QRを求めよ。

(3) AQ : BQを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分PCの長さを求める。

方べきの定理より、PA * PB = PC * PDが成り立つ。

PA = AB + BP = 2 + 4 = 6

PB = 4

PD = PC + CD = PC + 5

PC = xとすると、

$6 * 4 = x * (x + 5)$

$24 = x^2 + 5x$

$x^2 + 5x - 24 = 0$

$(x + 8)(x - 3) = 0$

$x = -8, 3$

PC > 0より、$PC = 3$

(2) PQ : QRを求める。

チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} * \frac{BQ}{QC} * \frac{CR}{RA} = 1$

$\frac{6}{4} * \frac{BQ}{QC} * \frac{CR}{RA} = 1$

メネラウスの定理(三角形APRと直線DQ)より、

$\frac{AD}{DR} * \frac{RQ}{QP} * \frac{PB}{BA} = 1$

$\frac{AD}{DR} = \frac{8}{3}$

$\frac{PQ}{QR}$を求めたいので、メネラウスの定理を適用する。

メネラウスの定理(三角形PADと直線R-Q-P)より

$\frac{PR}{RA} \cdot \frac{AQ}{QD} \cdot \frac{DC}{CP}=1$

$\frac{AD}{DR} = \frac{AP}{PB} * \frac{BQ}{QC}$

PQ : QR = 13 : 5

(3) AQ : BQを求める。

三角形ABQと三角形CDQについて考える。

$\angle BAQ = \angle DCQ$

$\angle ABQ = \angle CDQ$

よって、三角形ABQ ∽ 三角形CDQ

したがって、$\frac{AQ}{CQ} = \frac{BQ}{DQ} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{5}$

$\frac{AQ}{BQ} = \frac{CQ}{DQ}$

また、メネラウスの定理（三角形BCDと直線AQ）より、

$\frac{BA}{AD} * \frac{DR}{RC} * \frac{CQ}{QB} = 1$

よって、AQ : BQ = 2 : 1

3. 最終的な答え

(1) PC = 3

(2) PQ : QR = 13 : 5

(3) AQ : BQ = 2 : 1