円 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx$ が異なる2点P, Qで交わっているとき、以下の問いに答える。 (1) $m$ の値の範囲を求める。 (2) 線分PQの中点Mが描く軌跡を求め、それを図示する（軌跡に端点がある場合はその座標を明示する）。

1. 問題の内容

円 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx$ が異なる2点P, Qで交わっているとき、以下の問いに答える。

(1) $m$ の値の範囲を求める。

(2) 線分PQの中点Mが描く軌跡を求め、それを図示する（軌跡に端点がある場合はその座標を明示する）。

2. 解き方の手順

(1) 円 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx$ が異なる2点で交わる条件を求める。

円の中心 $(2, 0)$ と直線 $y = mx$ すなわち $mx - y = 0$ の距離 $d$ が、円の半径1より小さいことが条件である。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|2m - 0|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

したがって、$d < 1$ より、

$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 1$

$|2m| < \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$4m^2 < m^2 + 1$

$3m^2 < 1$

$m^2 < \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) 線分PQの中点Mの座標を $(X, Y)$ とする。

P, Qは $y = mx$ 上の点なので、P $(x_1, y_1)$, Q $(x_2, y_2)$ とすると、 $y_1 = mx_1$, $y_2 = mx_2$。

$X = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $Y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

$y_1 + y_2 = m(x_1 + x_2)$ より、 $Y = mX$

P, Qは円 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ 上の点でもあるので、$(x-2)^2 + (mx)^2 = 1$ が成り立つ。

$x^2 - 4x + 4 + m^2x^2 = 1$

$(1+m^2)x^2 - 4x + 3 = 0$

この2解が $x_1$, $x_2$ なので、解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = \frac{4}{1+m^2}$

$X = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2}{1+m^2}$

$X(1+m^2) = 2$

$1+m^2 = \frac{2}{X}$

$m^2 = \frac{2}{X} - 1 = \frac{2-X}{X}$

$Y = mX$ より、$m = \frac{Y}{X}$

$(\frac{Y}{X})^2 = \frac{2-X}{X}$

$\frac{Y^2}{X^2} = \frac{2-X}{X}$

$Y^2 = X(2-X) = 2X - X^2$

$X^2 + Y^2 - 2X = 0$

$(X-1)^2 + Y^2 = 1$

これは中心 $(1,0)$, 半径1の円である。

ただし、$-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$ より、制限が加わる。

$X = \frac{2}{1+m^2}$ であるから、$m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$X = \frac{2}{1+\frac{1}{3}} = \frac{2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2}$

また、$m = 0$ のとき、$X = 2$ である。

したがって、$\frac{3}{2} \le X \le 2$

$(X-1)^2 + Y^2 = 1$ より、 $X = \frac{3}{2}$ のとき、$(\frac{3}{2}-1)^2 + Y^2 = 1$

$\frac{1}{4} + Y^2 = 1$

$Y^2 = \frac{3}{4}$

$Y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、求める軌跡は、中心 $(1,0)$, 半径1の円のうち、$\frac{3}{2} \le X \le 2$ の部分である。

端点は $(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ と $(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\sqrt{3}} < m < \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) 中心 $(1,0)$, 半径1の円 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ のうち、$\frac{3}{2} \le x \le 2$ の部分。

端点は $(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ と $(\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$