点Pが双曲線 $x^2 - 4y^2 = 4$ 上を動くとき、点Pと点(5, 0)の距離の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

点Pが双曲線 $x^2 - 4y^2 = 4$ 上を動くとき、点Pと点(5, 0)の距離の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(x, y)$ とする。点Pは双曲線 $x^2 - 4y^2 = 4$ 上にあるので、この条件を満たす必要がある。

点Pと点(5, 0)の距離を $d$ とすると、

$d = \sqrt{(x - 5)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + y^2}$

$d^2 = (x - 5)^2 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2$

双曲線の式 $x^2 - 4y^2 = 4$ より、$y^2 = \frac{x^2 - 4}{4}$。

これを $d^2$ の式に代入すると、

$d^2 = x^2 - 10x + 25 + \frac{x^2 - 4}{4} = \frac{4x^2 - 40x + 100 + x^2 - 4}{4} = \frac{5x^2 - 40x + 96}{4}$

$d^2$ を最小にする $x$ を求めるために、$d^2$ を $x$ で微分する。

$\frac{d(d^2)}{dx} = \frac{10x - 40}{4}$

$\frac{d(d^2)}{dx} = 0$ となるのは $10x - 40 = 0$ より、$x = 4$ のとき。

双曲線 $x^2 - 4y^2 = 4$ より、$x^2 \geq 4$ であるから、$x \geq 2$ または $x \leq -2$ である必要がある。

$x=4$ はこの条件を満たす。

$x = 4$ のとき、$4^2 - 4y^2 = 4$ より、$16 - 4y^2 = 4$、$4y^2 = 12$、$y^2 = 3$、$y = \pm \sqrt{3}$。

このとき、

$d^2 = \frac{5(4^2) - 40(4) + 96}{4} = \frac{5(16) - 160 + 96}{4} = \frac{80 - 160 + 96}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$d = \sqrt{4} = 2$

双曲線は $x^2-4y^2=4$ であり、$x \ge 2$ または $x \le -2$ を満たす。

$x=2$ のとき、$4-4y^2=4$ より、$y=0$ であり、このとき $d^2 = (2-5)^2 + 0^2 = 9$ で、$d=3$.

$x=5$ のとき、$25-4y^2=4$ より、$4y^2=21$ であり、$y = \pm \sqrt{\frac{21}{4}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{2}$ である。

このとき、$d^2=(5-5)^2+y^2=y^2 = \frac{21}{4}$ であり、$d=\frac{\sqrt{21}}{2} \approx 2.29$

$x = 4$ のとき、$y = \pm \sqrt{3}$で、点Pは $(4,\pm \sqrt{3})$となる。このとき、$d^2=(4-5)^2 + 3 = 1+3=4$ となる。

$d=\sqrt{4}=2$.

3. 最終的な答え

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