(1) $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ ならば $\theta$ はいくつか。また、$\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ ならば $\theta$ はいくつか。 (2) $\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$ を計算せよ。 (3) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$ を計算せよ。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ のとき、$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ ならば $\theta$ はいくつか。また、$\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ ならば $\theta$ はいくつか。

(2) $\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$ を計算せよ。

(3) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ について：

$90^\circ - \theta$ は鋭角であり、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ より、$0^\circ \le 90^\circ - \theta \le 90^\circ$ である。$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ を満たす $90^\circ - \theta$ は $30^\circ$ である。

したがって、

$90^\circ - \theta = 30^\circ$

$\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

$\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ について：

$\cos(180^\circ - \theta) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$ なので、$-\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ より、$\cos \theta \ge 0$ なので、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta = 30^\circ$

(2)

$\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$ を計算する。

$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$

$\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ$

$\sin 110^\circ = \sin(90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ$

したがって、

$\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ = \sin 20^\circ \cos 70^\circ - (-\cos 20^\circ) \cos 20^\circ = \sin 20^\circ \sin 20^\circ + \cos 20^\circ \cos 20^\circ = \sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ = 1$

(3)

$\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$ を計算する。

$\tan 55^\circ = \tan(90^\circ - 35^\circ) = \frac{1}{\tan 35^\circ}$

$\tan 45^\circ = 1$

$\tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$

したがって、

$\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ = \tan 35^\circ \cdot \frac{1}{\tan 35^\circ} - 1 \cdot (-1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 60^\circ$, $\theta = 30^\circ$

(2) 1

(3) 2