ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 3)$ と $\vec{b} = (5, -2, -3)$ の両方に直交する単位ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-1, 4, 3)$ と $\vec{b} = (5, -2, -3)$ の両方に直交する単位ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に直交するベクトルを求めるために、外積を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (4 \times -3) - (3 \times -2) \\ (3 \times 5) - (-1 \times -3) \\ (-1 \times -2) - (4 \times 5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 + 6 \\ 15 - 3 \\ 2 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix}$

次に、$\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさを計算します。

$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 12^2 + (-18)^2} = \sqrt{36 + 144 + 324} = \sqrt{504} = \sqrt{36 \times 14} = 6\sqrt{14}$

最後に、単位ベクトルを計算します。

$\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{6\sqrt{14}} \begin{pmatrix} -6 \\ 12 \\ -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ -\frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix}$

符号が逆のベクトルも条件を満たします。

$- \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ -\frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{14}} \\ -\frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{14}} \\ \frac{2}{\sqrt{14}} \\ -\frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{14}} \\ -\frac{2}{\sqrt{14}} \\ \frac{3}{\sqrt{14}} \end{pmatrix}$

または

$\begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{14}}{14} \\ \frac{\sqrt{14}}{7} \\ -\frac{3\sqrt{14}}{14} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{14}}{14} \\ -\frac{\sqrt{14}}{7} \\ \frac{3\sqrt{14}}{14} \end{pmatrix}$