三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCの交点をD、辺BCの中点をMとする。3点A, D, Mを通る円が辺AB, ACとそれぞれ点E, Fで交わる。BD = 4, DC = 2であるとき、(1) CF・CAの値と、(2) BE/CFの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCの交点をD、辺BCの中点をMとする。3点A, D, Mを通る円が辺AB, ACとそれぞれ点E, Fで交わる。BD = 4, DC = 2であるとき、(1) CF・CAの値と、(2) BE/CFの値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

方べきの定理を用いる。点Cから円ADMを見て、CF・CA = CD・CM である。

CD = 2であり、MはBCの中点なので、BM = MC = (BD + DC) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3 である。

したがって、CM = 3であるから、CF・CA = CD・CM = 2 * 3 = 6

(2)

まず、角Aの二等分線なので、AB : AC = BD : DC = 4 : 2 = 2 : 1となる。すなわち、$AC = \frac{1}{2}AB$ である。

次に、方べきの定理を用いる。

点Bから円ADMを見て、BE・BA = BD・BM = 4 * 3 = 12 である。

よって、$BE = \frac{12}{AB}$ となる。

点Cから円ADMを見て、CF・CA = CD・CM = 2 * 3 = 6 である。

よって、$CF = \frac{6}{CA}$ となる。

すると、$\frac{BE}{CF} = \frac{\frac{12}{AB}}{\frac{6}{CA}} = \frac{12}{AB} \cdot \frac{CA}{6} = \frac{2CA}{AB}$ となる。

$CA = \frac{1}{2}AB$ を代入すると、$\frac{BE}{CF} = \frac{2(\frac{1}{2}AB)}{AB} = \frac{AB}{AB} = 1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) CF・CA = 6

(2) BE/CF = 1