点 $A(2, -4)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (2, -1)$ である直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点 $A(2, -4)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (2, -1)$ である直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

直線上の任意の点を $P(x, y)$ とする。

ベクトル $\vec{AP}$ は $\vec{AP} = (x - 2, y - (-4)) = (x - 2, y + 4)$ と表せる。

法線ベクトル $\vec{n}$ とベクトル $\vec{AP}$ は直交するので、内積は0になる。つまり、 $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ である。

内積を計算すると、

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(2, -1) \cdot (x - 2, y + 4) = 2(x - 2) + (-1)(y + 4) = 0

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これを展開して整理する。

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2x - 4 - y - 4 = 0

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2x - y - 8 = 0

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したがって、直線の方程式は $2x - y - 8 = 0$ である。

3. 最終的な答え

$2x - y - 8 = 0$