直方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{e}$ とおく。 (1) $\overrightarrow{BH}$ を $\vec{b}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ で表せ。 (2) 線分BHを1:2の比に内分する点をPとするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\vec{b}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ で表せ。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{AE} = \vec{e}$ とおく。

(1) $\overrightarrow{BH}$ を $\vec{b}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ で表せ。

(2) 線分BHを1:2の比に内分する点をPとするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\vec{b}$, $\vec{d}$, $\vec{e}$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{BH}$ を求める。

$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DH}$

ここで、$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\vec{b}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$, $\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AE} = \vec{e}$ であるから、

$\overrightarrow{BH} = -\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

(2) $\overrightarrow{AP}$ を求める。

点Pは線分BHを1:2に内分するので、

$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BH}$

$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BH}$

ここで、$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$ であり、(1)より$\overrightarrow{BH} = -\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$であるから、

$\overrightarrow{AP} = \vec{b} + \frac{1}{3}(-\vec{b} + \vec{d} + \vec{e})$

$\overrightarrow{AP} = \vec{b} - \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{e}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{e}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{BH} = -\vec{b} + \vec{d} + \vec{e}$

(2) $\overrightarrow{AP} = \frac{2}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d} + \frac{1}{3}\vec{e}$