(1) 直線 $y = mx + n$ が楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ に接するための条件を $m$, $n$ を用いて表す。 (2) 楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ の直交する2つの接線の交点の軌跡を求める。

1. 問題の内容

(1) 直線 $y = mx + n$ が楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ に接するための条件を $m$, $n$ を用いて表す。

(2) 楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ の直交する2つの接線の交点の軌跡を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $y = mx + n$ を楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ に代入する。

$x^2 + \frac{(mx+n)^2}{4} = 1$

$4x^2 + (mx+n)^2 = 4$

$4x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 = 4$

$(4+m^2)x^2 + 2mnx + n^2 - 4 = 0$

この2次方程式が重解を持つとき、直線は楕円に接する。判別式 $D = 0$ であるから、

$D/4 = (mn)^2 - (4+m^2)(n^2 - 4) = 0$

$m^2n^2 - (4n^2 - 16 + m^2n^2 - 4m^2) = 0$

$m^2n^2 - 4n^2 + 16 - m^2n^2 + 4m^2 = 0$

$-4n^2 + 16 + 4m^2 = 0$

$4m^2 - 4n^2 + 16 = 0$

$m^2 - n^2 + 4 = 0$

$n^2 = m^2 + 4$

$n = \pm\sqrt{m^2 + 4}$

(2)

直交する2つの接線を、$y = mx + n$ および $y = -\frac{1}{m}x + n'$とする。(1)より

$n^2 = m^2 + 4$ および $n'^2 = \frac{1}{m^2} + 4$

$y = mx + \sqrt{m^2 + 4}$

$y = -\frac{1}{m}x + \sqrt{\frac{1}{m^2} + 4}$

接点の座標を $(x, y)$ とすると、

$y - mx = \sqrt{m^2 + 4}$

$my + x = \sqrt{1 + 4m^2}$

両辺を2乗して、

$(y - mx)^2 = m^2 + 4$

$(my + x)^2 = 1 + 4m^2$

$(y^2 - 2mxy + m^2x^2) = m^2 + 4$

$(m^2y^2 + 2mxy + x^2) = 1 + 4m^2$

2式を足し合わせると、

$y^2 - 2mxy + m^2x^2 + m^2y^2 + 2mxy + x^2 = m^2 + 4 + 1 + 4m^2$

$y^2 + x^2 + m^2(x^2 + y^2) = 5m^2 + 5$

$(x^2 + y^2) + m^2(x^2 + y^2) = 5(m^2 + 1)$

$(x^2 + y^2)(1 + m^2) = 5(1 + m^2)$

$x^2 + y^2 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 = m^2 + 4$

(2) $x^2 + y^2 = 5$