半径 $5cm$、弧の長さ $8\pi cm$ のおうぎ形の中心角と面積を求めなさい。

1. 問題の内容

半径 $5cm$、弧の長さ $8\pi cm$ のおうぎ形の中心角と面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、中心角を求めます。

おうぎ形の弧の長さ $l$ は、半径 $r$、中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて、$l = r\theta$ と表されます。

中心角 $\theta$ を度数法で表すには、$\theta$ (ラジアン) を $\frac{180}{\pi}$ 倍します。

次に、おうぎ形の面積を求めます。

おうぎ形の面積 $S$ は、半径 $r$、中心角 $\theta$ (ラジアン) を用いて、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ と表されます。

また、弧の長さ $l$ がわかっている場合、$S = \frac{1}{2}rl$ で求めることもできます。

(1) 中心角の計算

$l = r\theta$ より、$8\pi = 5\theta$。

$\theta = \frac{8\pi}{5}$ (ラジアン)。

度数法に変換すると、$\frac{8\pi}{5} \times \frac{180}{\pi} = \frac{8 \times 180}{5} = 8 \times 36 = 288$ 度。

(2) 面積の計算

$S = \frac{1}{2}rl$ より、$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 8\pi = 20\pi$ cm$^2$。

3. 最終的な答え

中心角：288°

面積：20π cm$^2$