直線 $x+1 = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-3}$ と点 $A(1, 0, 1)$ を含む平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $x+1 = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{-3}$ と点 $A(1, 0, 1)$ を含む平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線上の2点を求めます。直線の方程式を $t$ とおくと、

$x+1 = t$

$\frac{y-2}{2} = t$

$\frac{z}{-3} = t$

となり、

$x = t - 1$

$y = 2t + 2$

$z = -3t$

となります。

$t=0$ のとき、点 $B(-1, 2, 0)$ が直線上にあります。

$t=1$ のとき、点 $C(0, 4, -3)$ が直線上にあります。

次に、ベクトル $\vec{AB}$ とベクトル $\vec{AC}$ を求めます。

$\vec{AB} = (-1 - 1, 2 - 0, 0 - 1) = (-2, 2, -1)$

$\vec{AC} = (0 - 1, 4 - 0, -3 - 1) = (-1, 4, -4)$

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積として求めることができます。

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(-4) - (-1)(4) \\ -1(-1) - (-2)(-4) \\ -2(4) - 2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 + 4 \\ 1 - 8 \\ -8 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -7 \\ -6 \end{pmatrix}$

法線ベクトルを $\vec{n} = (-4, -7, -6)$ とすると、平面の方程式は $-4x - 7y - 6z = d$ と表すことができます。

点 $A(1, 0, 1)$ を通るので、

$-4(1) - 7(0) - 6(1) = d$

$-4 - 0 - 6 = d$

$d = -10$

したがって、平面の方程式は $-4x - 7y - 6z = -10$ となり、両辺に $-1$ をかけると $4x + 7y + 6z = 10$ となります。

3. 最終的な答え

$4x + 7y + 6z = 10$