2つの直線 $x - y + 2 = 0$ と $\sqrt{3}x + y - 3 = 0$ がなす鋭角を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $x - y + 2 = 0$ と $\sqrt{3}x + y - 3 = 0$ がなす鋭角を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの直線のなす角の正接を求める公式を利用する。

まず、与えられた直線の方程式を $y = ax + b$ の形に変形し、それぞれの傾きを求める。

直線1: $x - y + 2 = 0$ を変形すると $y = x + 2$。よって、傾き $m_1 = 1$。

直線2: $\sqrt{3}x + y - 3 = 0$ を変形すると $y = -\sqrt{3}x + 3$。よって、傾き $m_2 = -\sqrt{3}$。

2つの直線のなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta$ は次のように表される。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

傾きの値を代入すると、

$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-\sqrt{3})}{1 + 1 \cdot (-\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \right|$

分母を有理化するために、$1 + \sqrt{3}$ を分母と分子に掛ける。

$\tan \theta = \left| \frac{(1 + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} \right| = \left| \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} \right| = \left| -2 - \sqrt{3} \right| = 2 + \sqrt{3}$

$\theta$ は鋭角なので $\tan \theta > 0$ である。$\tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

したがって、$\theta = 75^\circ = \frac{5\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$75^\circ$