四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$と与えられている。 (1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトルを求めよ。 (2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、点A, B, C, Dの位置ベクトルがそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$と与えられている。

(1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトルを求めよ。

(2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$は、位置ベクトルの定義より、各頂点の位置ベクトルの平均で求められる。

$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

(2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトル$\vec{p}$は、内分点の公式より、次のように求められる。

$\vec{p} = \frac{1\cdot \vec{a} + 3\cdot \vec{g}}{3+1}$

$\vec{g}$を代入すると、

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 3(\frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3})}{4}$

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle BCD$の重心Gの位置ベクトルは、

$\vec{g} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

(2) 線分AGを3:1の比に内分する点Pの位置ベクトルは、

$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$