2つのベクトルが与えられたとき、それらのベクトルがなす角を求める問題です。具体的には、 (1) $\vec{a} = (2, 3, -1)$、$\vec{b} = (-1, 2, -3)$ (2) $\vec{a} = (1, 0, -1)$、$\vec{b} = (-2, 1, 1)$ のそれぞれについて、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めます。

1. 問題の内容

2つのベクトルが与えられたとき、それらのベクトルがなす角を求める問題です。具体的には、

(1) $\vec{a} = (2, 3, -1)$、$\vec{b} = (-1, 2, -3)$

(2) $\vec{a} = (1, 0, -1)$、$\vec{b} = (-2, 1, 1)$

のそれぞれについて、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めます。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、内積の定義から

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$

が成り立ちます。したがって、

$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

から $\cos{\theta}$ を計算し、$\theta$ を求めることができます。

(1) $\vec{a} = (2, 3, -1)$、$\vec{b} = (-1, 2, -3)$ の場合：

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (3)(2) + (-1)(-3) = -2 + 6 + 3 = 7$

次に、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

したがって、

$\cos{\theta} = \frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

よって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ (または 60度)。

(2) $\vec{a} = (1, 0, -1)$、$\vec{b} = (-2, 1, 1)$ の場合：

まず、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-2) + (0)(1) + (-1)(1) = -2 + 0 - 1 = -3$

次に、ベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を計算します。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$

したがって、

$\cos{\theta} = \frac{-3}{\sqrt{2} \sqrt{6}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = \frac{-3\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\theta = \frac{5\pi}{6}$ (または 150度)。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$ (または 60度)

(2) $\frac{5\pi}{6}$ (または 150度)