平面上に点 $O, A, B$ があり、$OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ である。辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $P$ とする。 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の値を求め、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す。 次に、直線 $OP$ に関して、点 $A$ と対称な点を $Q$ とする。線分 $AQ$ と直線 $OP$ の交点を $H$ とすると、点 $H$ は線分 $AQ$ の中点である。 $\vec{OQ}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{AH}$ を用いて表し、$\vec{OQ}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す。 点 $H$ は直線 $OP$ 上にあるから、実数 $k$ を用いて $\vec{OH} = k\vec{OP}$ と表される。 $\vec{AH}$ を $k, \vec{OA}, \vec{OB}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

平面上に点 $O, A, B$ があり、$OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ である。辺 $AB$ を $1:2$ に内分する点を $P$ とする。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ の値を求め、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す。

次に、直線 $OP$ に関して、点 $A$ と対称な点を $Q$ とする。線分 $AQ$ と直線 $OP$ の交点を $H$ とすると、点 $H$ は線分 $AQ$ の中点である。

$\vec{OQ}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{AH}$ を用いて表し、$\vec{OQ}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す。

点 $H$ は直線 $OP$ 上にあるから、実数 $k$ を用いて $\vec{OH} = k\vec{OP}$ と表される。

$\vec{AH}$ を $k, \vec{OA}, \vec{OB}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を計算する。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |OA| |OB| \cos{\angle AOB} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

次に、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す。

点 $P$ は辺 $AB$ を $1:2$ に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

次に、点 $H$ は線分 $AQ$ の中点であるから、$\vec{OH} = \frac{\vec{OA} + \vec{OQ}}{2}$ と表せる。

したがって、$\vec{OQ} = 2\vec{OH} - \vec{OA} = \vec{OA} + 2\vec{AH}$ より、

$\vec{OQ} = \vec{OA} + 2\vec{AH}$

また、$\vec{OH} = k\vec{OP} = k(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) = \frac{2k}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$ である。

$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = (\frac{2k}{3} - 1)\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB} = \frac{2k-3}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \frac{1}{2}$

$\vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

$\vec{AH} = (\frac{2k-3}{3})\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$