正八角形の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるかを求める問題です。

1. 問題の内容

正八角形の3個の頂点を結んでできる三角形のうち、正八角形と辺を共有しないものは何個あるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正八角形の頂点から3個の頂点を選ぶ組み合わせの総数を計算します。これは、${}_8C_3$で表されます。

$${}_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

次に、正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形の数を計算します。

辺を2つ共有する場合: これは正八角形の隣り合う3つの頂点を選ぶことに相当します。このような選び方は8通りあります。

辺を1つだけ共有する場合: 共有する辺をまず選びます。これは8通りあります。次に、その辺の両端以外の頂点を1つ選びます。両端以外の頂点は8 - 4 = 4個あります（共有する辺の隣の2頂点は使えません）。よって、辺を1つだけ共有する三角形は$8 \times 4 = 32$通りあります。

正八角形と辺を共有しない三角形の数は、三角形の総数から、少なくとも1辺を共有する三角形の数を引けば求められます。

したがって、$56 - 8 - 32 = 16$

3. 最終的な答え

16個