直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{3}, BC = BF = 1$である。 (1) $\cos \angle AFC$と$\triangle AFC$の面積$S$を求めよ。 (2) 四面体AFCBの体積$V$と、頂点Bから対面$\triangle AFC$に下ろした垂線BPの長さを求めよ。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、$AB = \sqrt{3}, BC = BF = 1$である。

(1) $\cos \angle AFC$と$\triangle AFC$の面積$S$を求めよ。

(2) 四面体AFCBの体積$V$と、頂点Bから対面$\triangle AFC$に下ろした垂線BPの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \angle AFC$と$\triangle AFC$の面積$S$を求める。

まず、$\triangle AFC$の各辺の長さを求める。

$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$FC = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$\triangle AFC$に対して余弦定理を用いると、

$AC^2 = AF^2 + FC^2 - 2 AF \cdot FC \cos \angle AFC$

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cos \angle AFC$

$4 = 4 + 2 - 4\sqrt{2} \cos \angle AFC$

$4\sqrt{2} \cos \angle AFC = 2$

$\cos \angle AFC = \frac{2}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

次に、$\triangle AFC$の面積$S$を求める。

$\sin^2 \angle AFC + \cos^2 \angle AFC = 1$

$\sin^2 \angle AFC = 1 - \cos^2 \angle AFC = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{4})^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$\sin \angle AFC = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$ （$\because 0 < \angle AFC < \pi$ より $\sin \angle AFC > 0$）

$\triangle AFC$の面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} AF \cdot FC \cdot \sin \angle AFC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{4} = \frac{2\sqrt{7}}{4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(2) 四面体AFCBの体積$V$と、頂点Bから対面$\triangle AFC$に下ろした垂線BPの長さを求める。

四面体AFCBの体積$V$は、三角錐と見て計算する。

底面を$\triangle FBC$と考えると、$FB = BC = 1$なので、$\triangle FBC = \frac{1}{2} \cdot FB \cdot BC = \frac{1}{2}$

高さは$AB = \sqrt{3}$なので、体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle FBC \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

次に、頂点Bから$\triangle AFC$に下ろした垂線BPの長さを求める。

$\triangle AFC$を底面と見て、体積$V$を計算する。

$V = \frac{1}{3} \cdot \triangle AFC \cdot BP$

$\frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} \cdot BP$

$BP = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \angle AFC = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $\triangle AFC$の面積 $S = \frac{\sqrt{7}}{2}$

(2) 四面体AFCBの体積 $V = \frac{\sqrt{3}}{6}$, 垂線BPの長さ $BP = \frac{\sqrt{21}}{7}$