円 $C: x^2 + y^2 - 6x - 4 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 円Cの中心の座標と半径を求めます。 (2) 円C上の点A(1, 3)における接線lの方程式を求めます。 (3) (2)で求めた接線lに関して、円C上の点B(6, 2)と対称な点Dの座標を求めます。

1. 問題の内容

円 $C: x^2 + y^2 - 6x - 4 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 円Cの中心の座標と半径を求めます。

(2) 円C上の点A(1, 3)における接線lの方程式を求めます。

(3) (2)で求めた接線lに関して、円C上の点B(6, 2)と対称な点Dの座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 - 6x + y^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + y^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + y^2 = 13$

よって、中心の座標は(3, 0)で、半径は$\sqrt{13}$です。

(2) 円C上の点A(1, 3)における接線lの方程式を求めます。

円の方程式は$x^2 + y^2 - 6x - 4 = 0$なので、この円上の点(x1, y1)における接線の方程式は、

$x_1x + y_1y - 3(x + x_1) - 4 = 0$

となります。点A(1, 3)における接線の方程式は、

$1x + 3y - 3(x + 1) - 4 = 0$

$x + 3y - 3x - 3 - 4 = 0$

$-2x + 3y - 7 = 0$

$2x - 3y + 7 = 0$

(3) 点B(6, 2)と接線lに関して対称な点Dの座標を求めます。

点Dの座標を(p, q)とすると、線分BDの中点Mは接線l上にあり、直線BDは接線lと直交します。

Mの座標は$(\frac{6+p}{2}, \frac{2+q}{2})$です。Mは接線$2x - 3y + 7 = 0$上にあるので、

$2(\frac{6+p}{2}) - 3(\frac{2+q}{2}) + 7 = 0$

$6 + p - 3 - \frac{3}{2}q + 7 = 0$

$p - \frac{3}{2}q + 10 = 0$

$2p - 3q + 20 = 0$

また、直線BDの傾きは$\frac{q - 2}{p - 6}$であり、接線lの傾きは$\frac{2}{3}$なので、直線BDと接線lは直交することから、

$\frac{q - 2}{p - 6} = -\frac{3}{2}$

$2(q - 2) = -3(p - 6)$

$2q - 4 = -3p + 18$

$3p + 2q - 22 = 0$

$2p - 3q + 20 = 0$

$3p + 2q - 22 = 0$

この連立方程式を解きます。

$6p - 9q + 60 = 0$

$6p + 4q - 44 = 0$

$-13q + 104 = 0$

$q = 8$

$3p + 2(8) - 22 = 0$

$3p + 16 - 22 = 0$

$3p - 6 = 0$

$3p = 6$

$p = 2$

よって、点Dの座標は(2, 8)です。

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標: (3, 0), 半径: $\sqrt{13}$

(2) 接線lの方程式: $2x - 3y + 7 = 0$

(3) 点Dの座標: (2, 8)