O(0, 0), A(3, 1), P(k, -1)のとき、ベクトルOPとベクトルAPが垂直になるように、実数kの値を求めよ。

1. 問題の内容

O(0, 0), A(3, 1), P(k, -1)のとき、ベクトルOPとベクトルAPが垂直になるように、実数kの値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つのベクトルが垂直である条件は、それらの内積が0になることです。

まず、ベクトルOPとベクトルAPを成分で表します。

$\overrightarrow{OP} = (k, -1)$

$\overrightarrow{AP} = (k-3, -1-1) = (k-3, -2)$

$\overrightarrow{OP} \perp \overrightarrow{AP}$ であるとき、$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP} = 0$ が成り立ちます。

内積を計算します。

$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AP} = k(k-3) + (-1)(-2) = 0$

$k^2 - 3k + 2 = 0$

$(k-1)(k-2) = 0$

したがって、$k=1$ または $k=2$ となります。

3. 最終的な答え

k = 1, 2