点Qが直線 $y = x + 2$ 上を動くとき、点A(1, 6)と点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点Qが直線 $y = x + 2$ 上を動くとき、点A(1, 6)と点Qを結ぶ線分AQを2:1に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点Pの座標を$(x, y)$、点Qの座標を$(s, t)$と置きます。

(2) 点Qは直線 $y = x + 2$ 上にあるので、$t = s + 2$の関係が成り立ちます。

(3) 点Pは線分AQを2:1に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot s}{2 + 1} = \frac{1 + 2s}{3}$

$y = \frac{1 \cdot 6 + 2 \cdot t}{2 + 1} = \frac{6 + 2t}{3}$

(4) 上記の式をsとtについて解きます。

$3x = 1 + 2s$ より $s = \frac{3x - 1}{2}$

$3y = 6 + 2t$ より $t = \frac{3y - 6}{2}$

(5) $t = s + 2$に(4)の結果を代入して、$x$と$y$の関係式を求めます。

$\frac{3y - 6}{2} = \frac{3x - 1}{2} + 2$

$3y - 6 = 3x - 1 + 4$

$3y = 3x + 9$

$y = x + 3$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、直線 $y = x + 3$ です。