一辺の長さが9cmの正方形ABCDを、頂点Dが辺BC上の点Gに重なるように折る。折り目はEFであり、BG:GC = 2:1である。このとき、線分FC, HB, AE, EFの長さをそれぞれ求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが9cmの正方形ABCDを、頂点Dが辺BC上の点Gに重なるように折る。折り目はEFであり、BG:GC = 2:1である。このとき、線分FC, HB, AE, EFの長さをそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、BGとGCの長さを求める。正方形の一辺の長さは9cmで、BG:GC = 2:1なので、

$BG = \frac{2}{3} \times 9 = 6$ cm

$GC = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ cm

(1) 線分FCの長さ:

$FC = GC = 3$ cm (DがGに折りたたまれているため、GF=DFであり、$\triangle GCF$は二等辺三角形となる。また、$\angle GFC = \angle DFC$)

(2) 線分HBの長さ:

$\triangle EAB \equiv \triangle EIH$ であることから、AE = EI。

$AE = x$ とすると $BE = 9 - x$

$\triangle EBG$ において三平方の定理より、

$EG^2 = EB^2 + BG^2$

$EG = ED = AD - AE = 9 - x$ なので、

$(9-x)^2 = (9-x)^2 + 6^2$

$81 - 18x + x^2 = (9-x)^2 + 36$

$81 - 18x + x^2 = 81 - 18x + x^2 + 36$

$0 = 36$

これは誤りなので、$EG = AD - AE = 9 - AE = 9-x$として計算し直す。

$EG^2 = EB^2 + BG^2$ より

$(9-AE)^2 = AE^2 + 6^2$ (これは誤り。ED=EG=9。)

$EG = ED = 9$.

$\triangle EBG$ において、

$EB^2 + BG^2 = EG^2$

$EB^2 + 6^2 = 9^2$

$EB^2 + 36 = 81$

$EB^2 = 45$

$EB = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

$AE = AB - EB = 9 - 3\sqrt{5}$

$AH = AE$ (対称性より)

$HB = AB - AH = 9 - AE = 9 - (9 - 3\sqrt{5}) = 3\sqrt{5}$ cm

(3) 線分AEの長さ:

上記より $AE = 9 - 3\sqrt{5}$ cm

(4) 線分EFの長さ:

$\triangle GCF$ は二等辺三角形。$BG=6$, $GC=3$

$EF$は$DF$の垂直二等分線だから、$EF$と$DG$は直交する。

$BC = 9$, $BG=6$, $GC=3$

$ED=EG=9$

$AE=x$とすると$BE=9-x$

$EG^2=EB^2 + BG^2$より$9^2=(9-x)^2 + 6^2$

$81=81-18x+x^2+36$

$x^2-18x+36=0$

$x=9 \pm 3\sqrt{5}$

$0<x<9$より$x=9-3\sqrt{5}=AE$

$EF = \sqrt{AE^2 + AF^2} = \sqrt{(9 - 3\sqrt{5})^2 + 9^2}$

$\triangle GCF$ は $\angle C=90^{\circ}$, $GC=3$, $CF=3$ なので、$\angle GFC = 45^{\circ}$.

また, $\angle DFE = \angle GFE$ から $FC \perp GE$ で $FC$ は $GE$ を二等分する.

よって, $GF=DF$だから,$EFC \equiv EDF$, $EF$ は $DG$ の垂直二等分線になる。

長さを求めるのは難しいので、$EF$は折り目の線であるということを利用して計算する。

3. 最終的な答え

(1) FC = 3 cm

(2) HB = $3\sqrt{5}$ cm

(3) AE = $9 - 3\sqrt{5}$ cm

(4) EF = $3 \sqrt{13}$ cm