楕円 $C_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ の焦点を $F, F'$ とする。ただし、$F$ の $x$ 座標は正とする。正の実数 $m$ に対し、2直線 $y = mx, y = -mx$ を漸近線にもち、2点 $F, F'$ を焦点とする双曲線を $C_2$ とする。第1象限にある $C_1$ と $C_2$ の交点を $P$ とする。 (1) $C_2$ の方程式を $m$ を用いて表せ。 (2) 線分 $FP$ および線分 $F'P$ の長さを $m$ を用いて表せ。 (3) $\angle F'PF = 60^\circ$ となる $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

楕円 $C_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ の焦点を $F, F'$ とする。ただし、$F$ の $x$ 座標は正とする。正の実数 $m$ に対し、2直線 $y = mx, y = -mx$ を漸近線にもち、2点 $F, F'$ を焦点とする双曲線を $C_2$ とする。第1象限にある $C_1$ と $C_2$ の交点を $P$ とする。

(1) $C_2$ の方程式を $m$ を用いて表せ。

(2) 線分 $FP$ および線分 $F'P$ の長さを $m$ を用いて表せ。

(3) $\angle F'PF = 60^\circ$ となる $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、楕円 $C_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$ の焦点を求める。$a^2 = 9, b^2 = 5$ より、$c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 5 = 4$。よって、$c = 2$ なので、焦点は $F(2, 0), F'(-2, 0)$ となる。

次に、双曲線 $C_2$ の方程式を求める。$C_2$ は $y = \pm mx$ を漸近線に持つので、$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ とおくと、$\frac{b}{a} = m$ より、$b = am$。また、$F(2, 0)$ が焦点なので、$a^2 + b^2 = 4$。したがって、$a^2 + (am)^2 = 4$。よって、$a^2(1 + m^2) = 4$ より、$a^2 = \frac{4}{1 + m^2}$。

このとき、$b^2 = 4 - a^2 = 4 - \frac{4}{1 + m^2} = \frac{4m^2}{1 + m^2}$。したがって、双曲線 $C_2$ の方程式は

$\frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}} - \frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}} = 1$

$\frac{(1+m^2)x^2}{4} - \frac{(1+m^2)y^2}{4m^2} = 1$

$(1+m^2)x^2 - \frac{1+m^2}{m^2} y^2 = 4$

$\frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}} - \frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}} = 1$

$\frac{(1+m^2) x^2}{4} - \frac{(1+m^2) y^2}{4m^2} = 1$.

よって，$C_2$ の方程式は $\frac{x^2}{\frac{4}{1+m^2}} - \frac{y^2}{\frac{4m^2}{1+m^2}} = 1$ である。

(2)

$C_1$ 上の点を $P(x, y)$ とすると、楕円の定義より、$FP + F'P = 2a = 2 \times 3 = 6$。また、$C_2$ 上の点なので、双曲線の定義より、$|FP - F'P| = 2a = 2 \sqrt{\frac{4}{1+m^2}} = \frac{4}{\sqrt{1+m^2}}$。

$FP > 0, F'P > 0$ であるから、$FP + F'P = 6$ と $F'P - FP = \frac{4}{\sqrt{1+m^2}}$ を連立すると、

$2F'P = 6 + \frac{4}{\sqrt{1+m^2}}$ より、$F'P = 3 + \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$。

$2FP = 6 - \frac{4}{\sqrt{1+m^2}}$ より、$FP = 3 - \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$。

(3)

$\angle F'PF = 60^\circ$ より、余弦定理を用いると、

$F'F^2 = FP^2 + F'P^2 - 2 FP \cdot F'P \cos 60^\circ$。

$4^2 = \left(3 - \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right)^2 + \left(3 + \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right)^2 - 2 \left(3 - \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right) \left(3 + \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}\right) \frac{1}{2}$

$16 = 9 - \frac{12}{\sqrt{1+m^2}} + \frac{4}{1+m^2} + 9 + \frac{12}{\sqrt{1+m^2}} + \frac{4}{1+m^2} - \left(9 - \frac{4}{1+m^2}\right)$

$16 = 18 + \frac{8}{1+m^2} - 9 + \frac{4}{1+m^2} = 9 + \frac{12}{1+m^2}$

$7 = \frac{12}{1+m^2}$

$7(1 + m^2) = 12$

$7m^2 = 5$

$m^2 = \frac{5}{7}$

$m = \sqrt{\frac{5}{7}} = \frac{\sqrt{35}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $C_2$ の方程式: $\frac{(1+m^2) x^2}{4} - \frac{(1+m^2) y^2}{4m^2} = 1$

(2) $FP = 3 - \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$, $F'P = 3 + \frac{2}{\sqrt{1+m^2}}$

(3) $m = \frac{\sqrt{35}}{7}$