立方体 $ABCD-EFGH$ において、線分 $EC$ と線分 $FC$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めます。ただし、$\theta$ は逆三角関数を用いて表し、具体的な数値は関数電卓を用いて計算し、有効数字4桁で表記します。

1. 問題の内容

立方体 $ABCD-EFGH$ において、線分 $EC$ と線分 $FC$ のなす角 $\theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) を求めます。ただし、$\theta$ は逆三角関数を用いて表し、具体的な数値は関数電卓を用いて計算し、有効数字4桁で表記します。

2. 解き方の手順

立方体の一辺の長さを $a$ とします。座標空間を設定し、各頂点の座標を以下のように定めます。

$A(0, 0, a)$, $B(a, 0, a)$, $C(a, a, a)$, $D(0, a, a)$, $E(0, 0, 0)$, $F(a, 0, 0)$, $G(a, a, 0)$, $H(0, a, 0)$

ベクトル $\overrightarrow{EC}$ と $\overrightarrow{FC}$ はそれぞれ

$\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OE} = (a, a, a) - (0, 0, 0) = (a, a, a)$

$\overrightarrow{FC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OF} = (a, a, a) - (a, 0, 0) = (0, a, a)$

となります。

ベクトルの内積は、

$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{FC} = |\overrightarrow{EC}| |\overrightarrow{FC}| \cos{\theta}$

で定義されます。

$\overrightarrow{EC} \cdot \overrightarrow{FC} = (a, a, a) \cdot (0, a, a) = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot a = 2a^2$

$|\overrightarrow{EC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

$|\overrightarrow{FC}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

よって、

$2a^2 = a\sqrt{3} \cdot a\sqrt{2} \cos{\theta}$

$2a^2 = a^2 \sqrt{6} \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{6}}{3}}$

電卓を用いて計算すると、

$\frac{\sqrt{6}}{3} \approx 0.8164965809$

$\theta \approx \arccos{0.8164965809} \approx 0.6154797087$ (ラジアン)

角度に変換すると

$0.6154797087 \times \frac{180}{\pi} \approx 35.26438968$ (度)

有効数字4桁で表記すると、

$\theta \approx 0.6155$ (ラジアン)

3. 最終的な答え

$\theta = \arccos{\frac{\sqrt{6}}{3}} \approx 0.6155$ (ラジアン)