3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$について、$\gamma=(1-i)\alpha + i\beta$が成り立つとき、以下のものを求めます。 (1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値 (2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさ

1. 問題の内容

3点A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$)を頂点とする$\triangle ABC$について、$\gamma=(1-i)\alpha + i\beta$が成り立つとき、以下のものを求めます。

(1) 複素数 $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値

(2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさ

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。$\gamma=(1-i)\alpha + i\beta$ を変形して$\gamma - \alpha$ を求めます。

$$\gamma - \alpha = (1-i)\alpha + i\beta - \alpha = -i\alpha + i\beta = i(\beta - \alpha)$$

よって、

$$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = \frac{i(\beta - \alpha)}{\beta - \alpha} = i$$

(2) $\triangle ABC$ の3つの角の大きさを求めます。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = i$ より、

$$arg(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}) = arg(i) = \frac{\pi}{2}$$

これは $\angle BAC$ を意味するので、$\angle BAC = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$。

また、

$$|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}| = |i| = 1$$

$$|\gamma - \alpha| = |\beta - \alpha|$$

つまり、線分ACの長さと線分ABの長さが等しいので、$AC = AB$。

したがって、$\triangle ABC$ は直角二等辺三角形であり、$\angle ABC = \angle ACB = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = i$

(2) $\angle BAC = 90^\circ, \angle ABC = 45^\circ, \angle ACB = 45^\circ$